무한대와 무한소를 포함하는 수 체계임

특정 유한수보다 무한히 작은 무한소들이 존재하고 이 무한대와 무한소들끼리도 크기 차이가 존재함

초한서수와 무한소들을 좌표 단위로 나타난거임

참고로 트랜스리얼에선 속도의 크기를 나타낼때 초한서수 단위가 쓰임

한마디로 [0, ω²]까지의 구간은 [0, ω]까지의 구간보다 ω배 크다고 볼수 있음

ㅇㅇ

참고로 초현실수 좌표는 '크기' 개념이라 일반적인 서수 단위에선 존재할수 없는 1/ω, ω-π이딴 좌표도 존재함

트랜스리얼 세계관의 시공간은 '콘웨이 공간'이라고 루디러커가 만든 소설 속 시공간에 대한 용어인데
콘웨이 공간은 현실이라는 물리적 세계가 초현실수 체계로 이뤄져 있다는거임

플랑크 길이보다 작은 무한소가 있고 그보다 더 낮은 무한소가 끝 없이 존재하는데
마찬가지로 더 높은 초한서수로 표현되는 세계도 끝 없이 존재함

루디러커 블로그의 내용을 번역해서 인용하자면

제 SF에서 저는 플랑크 길이 이하의 영역을 "하위 차원" 또는 Subdee라고 부르고 이 영역의 생물을 subbies라고 부릅니다 .
저는 스케일 차원이 양방향으로 초한이라고 가정합니다. 예를 들어, 위와 아래에 alef-null과 alef-one이 있고, 1/alef-null과 1/alef-one이 있습니다.
그보다 더 나아가, 공간이 절대 연속체라는 저의 개념에 따라 스케일 축은 절대적으로 무한합니다.

우리는 초한계 레벨 위의 존재들을 알레파이트(alefite)라고 부를 수 있습니다 . 그리고 우리가 초한계적으로 작은 레벨까지 밀어내리면 우리는 서브 알레파이트(subalefite)를 갖게 됩니다

모든 실수를 비롯하여 초실수의 무한대와 무한소까지 포함하도록 구성된, 집합이 아닌 전순서 모임이 초현실수임


아 참고로 초실수는 실수 집합이랑 카타널리티가 같은데

초현실수는 크기 제한이 없어서 V까지 간다는 차이가 존재함

근데 혹시 카디널리티 관련으로 궁금한거 물어봐도 됨?

https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

서수체계에선 2^ω = ω이고, 초실수체에선 2^ω = ω^(ω · log(ω, 2))니까 2^ω는 걍 가산 무한대 아님?

링크에선 구간 [0, 1]에 존재하는 실수 중에서 무한 시간 튜링 머신으로 계산 가능한 실수의 개수가 2^ω개라는 식으로 나오는데 대체 뭐임?...

설마 무한 시간 튜링 머신으로 계산 가능한 실수의 카디널리티가 실수 전체 집합의 카디널리티보다 작은거임?

무한 시간 튜링머신(ITTM)이 그런 계산을 한다는 내용은 너가 올린 링크에 없는거 같은데 ITTM은 슈퍼태스크를 통해서 가산무한의 작업을 처리하지만
하이퍼태스크(비가산 무한 작업을 유한시간에 처리) 레벨은 아닌거로 알고있음

보통 하이퍼 태스크는 불가능하다고 알려져 있는데 정확히는 시간이 실수로 구성된다면 하이퍼 태스크는 불가능하다고 증명하는 논문이 있던거 같음
다만 시간이 초현실수라면 하이퍼 태스크와 그걸 확장한 울트라 태스크가 가능하다는듯

슈퍼태스크는 '하얀 빛'에서 펠릭스 레이먼이 한 것 처럼 유한 시간에 가산무한개의 작업을 처리하는걸 생각하면됨
그게 비가산으로 올라가면 하이퍼 태스크이고 더 올라가면 울트라 태스크라고 부름

ㅈㅅ...

편집하다보니까 링크가 깨져서 그랬음

다시 보니까 구간 [0, 1]랑 2^ω가 동일하다는 내용인데 번역을 잘못한듯 ㅈㅅ

일단 답변 ㄱㅅㄱㅅ

However, from a computability theoretic or measure theoretic perspective, the two structures 2^ω and [0, 1] are essentially identical

이 부분이 이해 안됬었음

ω₁ > ω^ω > ω^(ω · log(ω, 2) = 2^ω 라서 결국 2^ω도 가산 무한대라고 생각했는데 구간 [0, 1]이랑 동일하다는게 이해 안됬음

계산 가능성의 관점에서 2^ω 저게 [0,1] 구간의 실수의 이진수 전개로 나타내는 것으로 볼 수 있다는거임
2^ω 저거는 멱집합 표현으로 보이는데 서수연산이 아니라 기수 연산을 저렇게 쓴듯

그냥 알레프 원으로 생각하면 될듯 저 계산 가능한 실수의 이진수 전개인 2^ω 하고 [0,1]의 기수는 같으나 위상적으로는 다르다고
생각하면 됨 저 표현은 칸토어 집합과 같은 완전 분리 공간으로 취급되는거 같음

ㅇㅎ

답변 ㄱㅅㄱㅅ