2^∞차원

예전에 다른 사람에게 설명했던 답글을 복붙할게요

고등학교에서 어떤 집합 A의 부분집합의 개수를 2^n(n은 A의 원소의 개수)으로 계산한다고 배우잖아.

A={1, 2, 3, 4}라고하면 부분집합의 개수는 2^4 = 16개임 실제로 노가다식으로 나열하면 {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} 이게 맞다는걸 확인할 수 있음 이렇게 어떤 집합의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합을 멱집합이라고 함.

위의 A의 멱집합을 P라고 한다면 P={ {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }로 16개의 원소를 가지니 원래 A의 원소 개수인 4보다 큰 것을 이렇게 확인할 수 있고

항상 주어진 집합의 멱집합은 원래의 집합보다 크기(원소의 개수)가 더 크다는게 성립함 이걸 칸토어의 정리라고 부르고 유한집합 말고도 무한집합에서도 이 정리가 성립함

마지막으로 칸토어 정리에 의해서 알레프 0에 멱집합인 2^(알레프 0)가 알레프 1의 크기임, 즉 자연수 집합의 모든 부분 집합을 포함하는 더 큰 무한이라고 정리할 수 있음