함수 {displaystyle fcolon Eto mathbb {R} } ({displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}은 조르당 가측 집합)의, 분할 {displaystyle {E_{i}}_{i=1}^{m}subseteq {mathcal {P}}(E)}에 대한 리만 합(영어: Riemann sum)은 다음과 같다.
- {displaystyle sum _{i=1}^{m}f(xi _{1}^{(i)},dots ,xi _{n}^{(i)})operatorname {m} (E_{i})qquad (xi _{1}^{(i)},dots ,xi _{n}^{(i)})in E_{i}}
또한, 다르부 상합(영어: upper Darboux sum)은 다음과 같다.
- {displaystyle sum _{i=1}^{m}sup _{(x_{1},dots ,x_{n})in E_{i}}f(x_{1},dots ,x_{n})operatorname {m} (E_{i})}
또한, 다르부 하합(영어: lower Darboux sum)은 다음과 같다.
- {displaystyle sum _{i=1}^{m}inf _{(x_{1},dots ,x_{n})in E_{i}}f(x_{1},dots ,x_{n})operatorname {m} (E_{i})}
함수 {displaystyle fcolon Eto mathbb {R} } ({displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}은 조르당 가측 집합)에 대하여, 만약 다음과 같은 극한이 존재하며, 분할 {displaystyle {E_{i}}_{i=1}^{m}} 및 각 집합의 점 {displaystyle (xi _{1}^{(i)},dots ,xi _{n}^{(i)})}의 열의 선택과 무관하다면, {displaystyle f}를 {displaystyle E} 위의 리만 적분 가능 함수(영어: Riemann integrable function)라고 하며, 이 극한을 {displaystyle f}의 리만 {displaystyle n}중적분(영어: n-ple Riemann integral)이라고 한다.
- {displaystyle int _{E}f(x)dx=iint cdots int _{E}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=lim _{lambda ({E_{i}}_{i=1}^{m})to 0}sum _{i=1}^{m}f(xi _{1}^{(i)},dots ,xi _{n}^{(i)})operatorname {m} (E_{i})}
또한, 다르부 상적분(영어: upper Darboux integral)은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.
- {displaystyle {begin{aligned}{overline {int _{E}}}f(x)dx={overline {iint cdots int _{E}}}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}&=lim _{lambda ({E_{i}}_{i=1}^{m})to 0}sum _{i=1}^{m}sup _{(x_{1},dots ,x_{n})in E_{i}}f(x_{1},dots ,x_{n})operatorname {m} (E_{i})&=inf _{{mathcal {P}}(E)supseteq {E_{i}}_{i=1}^{m}in operatorname {dom} lambda }sum _{i=1}^{m}sup _{(x_{1},dots ,x_{n})in E_{i}}f(x_{1},dots ,x_{n})operatorname {m} (E_{i})end{aligned}}}
마찬가지로, 다르부 하적분(영어: lower Darboux integral)은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.
- {displaystyle {begin{aligned}{underline {int _{E}}}f(x)dx={underline {iint cdots int _{E}}}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}&=lim _{lambda ({E_{i}}_{i=1}^{m})to 0}sum _{i=1}^{m}inf _{(x_{1},dots ,x_{n})in E_{i}}f(x_{1},dots ,x_{n})operatorname {m} (E_{i})&=sup _{{mathcal {P}}(E)supseteq {E_{i}}_{i=1}^{m}in operatorname {dom} lambda }sum _{i=1}^{m}inf _{(x_{1},dots ,x_{n})in E_{i}}f(x_{1},dots ,x_{n})operatorname {m} (E_{i})end{aligned}}}
특히, 리만 이중 적분을
- {displaystyle iint _{E}f(x,y)dxdy=iint _{E}f(x,y)dA=lim _{lambda ({E_{i}}_{i=1}^{m})to 0}sum _{i=1}^{m}f(xi _{i},eta _{i})operatorname {m} (E_{i})}
와 같이 표기하며, 리만 삼중 적분을
- {displaystyle iiint _{E}f(x,y,z)dxdydz=iiint _{E}f(x,y,z)dV=lim _{lambda ({E_{i}}_{i=1}^{m})to 0}sum _{i=1}^{m}f(xi _{i},eta _{i},zeta _{i})operatorname {m} (E_{i})}
와 같이 표기한다.
이상 리만 중적분[편집]
유계 집합과 (정의역이 조르당 영집합이 아니라면) 유계 함수에 한정된 리만 중적분을 무계 집합과 무계 함수를 허용하는 이상 리만 중적분(영어: improper multiple Riemann integral)으로 확장할 수 있다. 일변수 함수에서와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴한다는 것이다.
함수 {displaystyle fcolon Eto mathbb {R} } 및 그 정의역 {displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- {displaystyle E}는 무계 집합이다.
- {displaystyle f}는 유계 함수이다.
- 임의의 {displaystyle r>0}에 대하여, {displaystyle Ecap {bar {B}}_{R}(0)}는 조르당 가측 닫힌집합이다.
- 여기서 {displaystyle {bar {B}}_{R}(0)={(x_{1},dots ,x_{n})colon x_{1}^{2}+cdots x_{n}^{2}leq R^{2}}}은 닫힌 공이다.
- 특히, {displaystyle E}가 무계 닫힌집합일 경우, {displaystyle Ecap {bar {B}}_{R}(0)}가 닫힌집합이라는 조건은 생략할 수 있다.
- 임의의 조르당 가측 닫힌집합 {displaystyle Fsubseteq E}에 대하여, {displaystyle f}는 {displaystyle F}에서 리만 적분 가능 함수이다.
이러한 {displaystyle f} 및 {displaystyle E}에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 {displaystyle Fsubseteq E}의 열의 선택과 무관하다면, 이를 {displaystyle f}의 {displaystyle E} 위의 이상 리만 중적분이라고 한다.
- {displaystyle iint cdots int _{E}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=lim _{sup{r>0colon Fsupseteq Ecap {bar {B}}_{R}(0)}to infty }iint cdots int _{F}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}}
비슷하게, {displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}} 및 {displaystyle (a_{1},dots ,a_{n})in E} 및 {displaystyle fcolon Esetminus {(a_{1},dots ,a_{n})}to mathbb {R} }가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- {displaystyle E}는 유계 집합이다.
- {displaystyle f}는 무계 함수이다.
- 임의의 {displaystyle r>0}에 대하여, {displaystyle Esetminus B_{R}(a)}는 조르당 가측 닫힌집합이다.
- 여기서 {displaystyle B_{R}(a)={(x_{1},dots ,x_{n})colon (x_{1}-a_{1})^{2}+cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}leq r^{2}}}는 열린 공이다.
- 특히, {displaystyle E}가 조르당 가측 닫힌집합일 경우, 이 조건은 생략할 수 있다.
- 임의의 조르당 가측 닫힌집합 {displaystyle Fsubseteq Esetminus {(a_{1},dots ,a_{n})}}에 대하여, {displaystyle f}는 {displaystyle F}에서 리만 적분 가능 함수이다.
이러한 {displaystyle f} 및 {displaystyle E}에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 {displaystyle Fsubseteq Esetminus {(a_{1},dots ,a_{n})}}의 열의 선택과 무관하다면, 이를 {displaystyle f}의 {displaystyle E} 위의 이상 리만 중적분이라고 한다.
- {displaystyle iint cdots int _{E}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=lim _{inf{r>0colon Fsupseteq Esetminus B_{R}(a)}to 0^{+}}iint cdots int _{F}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}}
르베그 중적분[편집]
르베그 중적분(영어: multiple Lebesgue integral)은 유클리드 공간의 르베그 측도에 기반하여 정의된다.
리만 적분 가능 함수는 유계 함수일 필요가 없다. 예를 들어, 정의역이 조르당 영집합인 함수는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 그러나, 양의 조르당 측도의 집합들로 임의로 세밀하게 분할될 수 있는 정의역 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다. 특히, 조르당 가측 열린집합 또는 그 폐포 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다.[2]
리만 중적분은 일변수 함수의 리만 적분과 같은 성질들을 갖췄다. 예를 들어, 리만 중적분은 선형성 · 적분 집합에 대한 가법성 · 비엄격 부등식의 보존 · 곱의 적분 가능성 보존 등을 만족시킨다.[2]
누차 적분과의 관계[편집]
함수를 먼저 일부 변수에 대하여 적분한 뒤, 다시 남은 변수에 대하여 적분하는 것을 누차 적분(累次積分, 영어: repeated integral) 또는 반복 적분(反復積分)이라고 한다. 중적분은 일정 조건 아래 누차 적분을 통해 구할 수 있다.
함수 {displaystyle fcolon Eto mathbb {R} } ({displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}는 조르당 가측 집합)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
- {displaystyle f}는 {displaystyle E}에서 리만 적분 가능 함수이다.
- 임의의 {displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})in E}에 대하여, 리만 적분 {displaystyle overbrace {iint cdots int } _{{(x_{m+1},dots ,x_{n})colon (x_{1},dots ,x_{n})in E}}^{n-m}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{m+1}cdots dx_{n}}이 존재한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.[2]
- {displaystyle overbrace {iint cdots int } _{E}^{n}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=overbrace {iint cdots int } _{{(x_{1},dots ,x_{m})colon (x_{1},dots ,x_{n})in E}}^{m}dx_{1}cdots dx_{m}overbrace {iint cdots int } _{{(x_{m+1},dots ,x_{n})colon (x_{1},dots ,x_{n})in E}}^{n-m}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{m+1}cdots dx_{n}}
적분 구역
a ≤
x ≤
b,
α(
x) ≤
y ≤
β(
x) 위의 적분은
x를 고정한 채
y에 대하여 적분한 뒤, 이를 다시
x에 대하여 적분한 것과 같다.
일부 특수한 정의역의 경우는 다음과 같다. (여기서 {displaystyle phi leq psi }, {displaystyle sigma leq tau })
- {displaystyle iint _{[a,b]times [c,d]}f(x,y)dxdy=int _{a}^{b}dxint _{c}^{d}f(x,y)dy}
- {displaystyle iint _{{(x,y)colon aleq xleq b,phi (x)leq yleq psi (x)}}f(x,y)dxdy=int _{a}^{b}dxint _{phi (x)}^{psi (x)}f(x,y)dy}
- {displaystyle iint _{{(x,y)colon aleq yleq b,phi (y)leq xleq psi (y)}}f(x,y)dxdy=int _{a}^{b}dyint _{phi (y)}^{psi (y)}f(x,y)dx}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon (x,y)in Omega ,phi (x,y)leq zleq psi (x,y)}}f(x,y,z)dxdydz=iint _{Omega }dxdyint _{phi (x,y)}^{psi (x,y)}f(x,y,z)dz}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon (x,z)in Omega ,phi (x,z)leq yleq psi (x,z)}}f(x,y,z)dxdydz=iint _{Omega }dxdzint _{phi (x,z)}^{psi (x,z)}f(x,y,z)dy}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon (y,z)in Omega ,phi (y,z)leq xleq psi (y,z)}}f(x,y,z)dxdydz=iint _{Omega }dydzint _{phi (y,z)}^{psi (y,z)}f(x,y,z)dx}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon aleq xleq b,(y,z)in Omega _{x}}}f(x,y,z)dxdydz=int _{a}^{b}dxiint _{Omega _{x}}f(x,y,z)dydz}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon aleq yleq b,(x,z)in Omega _{y}}}f(x,y,z)dxdydz=int _{a}^{b}dyiint _{Omega _{y}}f(x,y,z)dxdz}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon aleq zleq b,(x,y)in Omega _{z}}}f(x,y,z)dxdydz=int _{a}^{b}dziint _{Omega _{z}}f(x,y,z)dxdy}
- {displaystyle iiint _{{(x,y,z)colon aleq xleq b,phi (x)leq yleq psi (x),sigma (x,y)leq zleq tau (x,y)}}f(x,y,z)dxdydz=int _{a}^{b}dxint _{phi (x)}^{psi (x)}dyint _{sigma (x,y)}^{tau (x,y)}f(x,y,z)dz}
그러나, 둘째 전제가 없다면 결론이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 정의하자.
- {displaystyle f(x,y)={begin{cases}x&(x,y)in {1,1/2,1/3,dots }times mathbb {Q} 0&(x,y)not in {1,1/2,1/3,dots }times mathbb {Q} end{cases}}}
그렇다면,
- {displaystyle iint _{[0,1]times [0,1]}f(x,y)dxdy=0}
- {displaystyle int _{0}^{1}dyint _{0}^{1}f(x,y)dx=0}
이지만, {displaystyle f(1/n,y)=1_{mathbb {Q} }(y)/n} ({displaystyle n=1,2,dots })가 리만 적분 가능 함수가 아니므로
- {displaystyle int _{0}^{1}dxint _{0}^{1}f(x,y)dy}
는 존재하지 않는다.
치환 적분[편집]
함수 {displaystyle gcolon Eto mathbb {R} ^{n}} ({displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}는 조르당 가측 닫힌집합) 및 {displaystyle fcolon g(E)to mathbb {R} }가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- {displaystyle g}는 단사 {displaystyle {mathcal {C}}^{1}} 함수이다.
- 임의의 {displaystyle tin D}에 대하여, {displaystyle det J_{g}(t)neq 0}
- {displaystyle f}는 {displaystyle g(E)}에서 리만 적분 가능 함수이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
- {displaystyle int _{g(E)}f(x)dx=int _{E}f(g(t))left|det J_{g}(t)right|dt}
여기서 {displaystyle det J_{g}}는 {displaystyle g}의 야코비 행렬식인데, 어떤 점에서의 야코비 행렬식의 값은 대략 변환이 그 점 주위의 초부피를 확대시키는 배수를 나타낸다.
예를 들어, 극좌표 변환
- {displaystyle x=rcos theta }
- {displaystyle y=rsin theta }
- {displaystyle det {frac {partial (x,y)}{partial (r,theta )}}={begin{vmatrix}cos theta &-rsin theta sin theta &rcos theta end{vmatrix}}=r}
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
- {displaystyle iint _{D}f(x,y)dxdy=iint _{g^{-1}(D)}f(rcos theta ,rsin theta )rdrdtheta }
또한, 원통 좌표 변환
- {displaystyle x=rcos theta }
- {displaystyle y=rsin theta }
- {displaystyle z=z}
- {displaystyle det {frac {partial (x,y,z)}{partial (r,theta ,z)}}=r}
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
- {displaystyle iiint _{D}f(x,y,z)dxdydz=iiint _{g^{-1}(D)}f(rcos theta ,rsin theta ,z)rdrdtheta }
또한, 구면 좌표 변환
- {displaystyle x=rcos theta sin varphi }
- {displaystyle y=rsin theta sin varphi }
- {displaystyle z=rcos varphi }
- {displaystyle det {frac {partial (x,y,z)}{partial (r,theta ,varphi )}}=-r^{2}sin varphi }
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
- {displaystyle iiint _{D}f(x,y,z)dxdydz=iiint _{g^{-1}(D)}f(rcos theta sin varphi ,rsin theta sin varphi ,rcos varphi )r^{2}sin varphi drdtheta dvarphi }
기하학적 성질[편집]
음이 아닌 값의 함수 {displaystyle fcolon Eto mathbb {R} } ({displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}는 조르당 가측 집합)의 리만 중적분은 밑면이 정의역, 윗면이 함수의 그래프인 도형의 조르당 측도와 같다.
- {displaystyle iint cdots int _{E}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=operatorname {m} ({(x_{1},dots ,x_{n+1})colon (x_{1},dots ,x_{n})in E,;0leq x_{n+1}leq f(x_{1},dots ,x_{n})})}
특히, 상수 함수 1의 리만 중적분은 정의역의 조르당 측도와 같다.
- {displaystyle iint cdots int _{E}dx_{1}cdots dx_{n}=operatorname {m} (E)}
이상 중적분의 성질[편집]
이상 중적분 역시 중적분과 비슷한 성질들을 만족시킨다.
예를 들어, 함수 {displaystyle fcolon [a,infty )times [b,infty )to mathbb {R} }가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
- 임의의 조르당 가측 닫힌집합 {displaystyle Fsubseteq [a,infty )times [b,infty )}에 대하여, {displaystyle f}는 {displaystyle F}에서 리만 적분 가능 함수이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.[3]:175, 定理15.5.4
- 만약 {displaystyle int _{a}^{infty }dxint _{b}^{infty }|f(x,y)|dy<infty }라면, {displaystyle iint _{[a,infty )times [b,infty )}f(x,y)dxdy=int _{a}^{infty }dxint _{b}^{infty }|f(x,y)|dy}
- 만약 {displaystyle int _{a}^{infty }dxint _{b}^{infty }|f(x,y)|dy=infty }라면, {displaystyle iint _{[a,infty )times [b,infty )}f(x,y)dxdy}는 발산한다.
또한, 무계 닫힌집합 {displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}} 및 단사 {displaystyle {mathcal {C}}^{1}} 함수 {displaystyle gcolon Eto mathbb {R} ^{n}} 및 함수 {displaystyle fcolon g(E)to mathbb {R} }에 대하여, 만약 두 이상 적분
- {displaystyle iint cdots int _{g(E)}f(x)dx=iint cdots int _{E}f(g(t))left|det J_{g}(t)right|dt}
가운데 하나가 존재한다면, 남은 하나도 존재하며, 이 둘은 서로 같다.[3]:175, 정리 15.5.5
이상 리만 중적분
- {displaystyle iint cdots int _{E}f(x_{1},dots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}}
이 수렴할 필요충분조건은
- {displaystyle iint cdots int _{E}|f(x_{1},dots ,x_{n})|dx_{1}cdots dx_{n}<infty }
이다. 즉, 일변수 함수의 경우와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴이다.
직육면체의 부피[편집]
직육면체 {displaystyle [0,1]times [0,2]times [0,3]}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
- {displaystyle {begin{aligned}iiint _{[0,1]times [0,2]times [0,3]}dxdydz&=int _{0}^{1}dxint _{0}^{2}dyint _{0}^{3}dz&=int _{0}^{1}dxint _{0}^{2}3dy&=int _{0}^{1}6dx&=6end{aligned}}}
삼각뿔의 부피[편집]
삼각뿔 {displaystyle {(x,y,z)colon 0leq x,y,zleq x+y+zleq 1}}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
- {displaystyle {begin{aligned}iiint _{{(x,y,z)colon 0leq x,y,zleq x+y+zleq 1}}dxdydz&=int _{0}^{1}dxint _{0}^{1-x}dyint _{0}^{1-x-y}dz&=int _{0}^{1}dxint _{0}^{1-x}(1-x-y)dy&=int _{0}^{1}{frac {(1-x)^{2}}{2}}dx&={frac {1}{6}}end{aligned}}}
이차 곡면으로 둘러싸인 도형의 부피[편집]
타원 포물면 z =
x2 +
y2와
원기둥 x2 +
y2 =
a2에 의해 둘러싸인 도형
구 x2 +
y2 +
z2 =
a2와
원뿔 z2 = (
x2 +
y2)tan
a에 의해 둘러싸인 도형
타원 포물면과 원기둥으로 둘러싸인 도형 {displaystyle {(x,y,z)colon 0leq zleq x^{2}+y^{2}leq a^{2}}}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
- {displaystyle {begin{aligned}iiint _{{(x,y,z)colon 0leq zleq x^{2}+y^{2}leq a^{2}}}dxdydz&=int _{0}^{a}rdrint _{0}^{2pi }dtheta int _{0}^{r}dz&=int _{0}^{a}r^{2}drint _{0}^{2pi }dtheta &=int _{0}^{a}2pi r^{2}dr&={frac {2}{3}}pi a^{3}end{aligned}}}
구와 원뿔로 둘러싸인 도형 {displaystyle textstyle left{(x,y,z)colon {sqrt {x^{2}+y^{2}}}cot alpha leq zleq {sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}right}}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
- {displaystyle {begin{aligned}iiint _{left{(x,y,z)colon {sqrt {x^{2}+y^{2}}}cot alpha leq zleq {sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}right}}dxdydz&=int _{0}^{alpha }sin varphi dvarphi int _{0}^{2pi }dtheta int _{0}^{a}r^{2}dr&={frac {1}{3}}a^{3}int _{0}^{alpha }sin varphi dvarphi int _{0}^{2pi }dtheta &={frac {2}{3}}pi a^{3}int _{0}^{alpha }sin varphi dvarphi &={frac {2}{3}}pi a^{3}(1-cos alpha )end{aligned}}}
치환 적분의 예[편집]
극좌표 변환 · 원통 좌표 변환 · 구면 좌표 변환 외의 변환을 사용하여 구할 수 있는 중적분의 한 가지 예는 다음과 같다.
- {displaystyle iint _{{(x,y)colon 0leq x,yleq x+yleq 1}}{sqrt {frac {xy}{x+y}}}dxdy}
여기에서 다음과 같은 변환을 사용하자.
- {displaystyle x=rcos ^{2}theta }
- {displaystyle y=rsin ^{2}theta }
이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.
- {displaystyle det {frac {partial (x,y)}{partial (r,theta )}}={begin{vmatrix}cos ^{2}theta &-rsin 2theta sin ^{2}theta &rsin 2theta end{vmatrix}}=rsin 2theta }
따라서 상술 이중 적분을 다음과 같이 구할 수 있다.
- {displaystyle iint _{{(x,y)colon 0leq x,yleq x+yleq 1}}{sqrt {frac {xy}{x+y}}}dxdy={frac {1}{2}}int _{0}^{1}{sqrt {r^{3}}}drint _{0}^{frac {pi }{2}}sin ^{2}2theta dtheta ={frac {pi }{20}}}
이상 중적분의 예[편집]
가우스 함수의 적분
- {displaystyle int _{0}^{infty }e^{-x^{2}}dx}
은 이상 중적분
- {displaystyle iint _{mathbb {R} ^{2}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy}
을 통해 구할 수 있는데, 이는
- {displaystyle {begin{aligned}iint _{mathbb {R} ^{2}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=lim _{ato infty }iint _{[-a,a]times [-a,a]}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=lim _{ato infty }int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dxint _{-a}^{a}e^{-y^{2}}dy&=4left(int _{0}^{infty }e^{-x^{2}}dxright)^{2}end{aligned}}}
이기 때문이다. 이 이상 중적분의 값은
- {displaystyle {begin{aligned}iint _{mathbb {R} ^{2}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=lim _{ato infty }iint _{{(x,y)colon x^{2}+y^{2}leq a^{2}}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=lim _{ato infty }iint _{{(r,theta )colon 0leq rleq a,;0leq theta leq 2pi }}e^{-r^{2}}rdrdtheta &=lim _{ato infty }int _{0}^{a}e^{-r^{2}}rdrint _{0}^{2pi }dtheta &=pi end{aligned}}}
이므로, 가우스 함수의 적분 값은
- {displaystyle int _{0}^{infty }e^{-x^{2}}dx={frac {sqrt {pi }}{2}}}