위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
• 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 분해 가능 실수 바나흐 공간 {displaystyle E}
• {displaystyle E}의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 {displaystyle mu }
• 분해 가능 실수 힐베르트 공간 {displaystyle (H,langle |rangle )}
• 단사 연속 실수 선형 변환 {displaystyle iota colon Hhookrightarrow E}. (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.

그렇다면, {displaystyle Hsubseteq E}이므로

{displaystyle E^{*}subseteq H^{*}=H}

이며, {displaystyle E^{*}}는 {displaystyle H}의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 {displaystyle (-)^{*}}는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

{displaystyle int _{E}exp(mathrm {i} langle lambda |xrangle ),mathrm {d} mu (x)=exp left(-{frac {langle lambda |lambda rangle _{H}}{2}}right)qquad forall lambda in E^{*}subseteq H}

라면, {displaystyle (E,mu ,H)}가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의[편집]

위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간 {displaystyle H} 위의 기둥 집합의 족 {displaystyle operatorname {Cyl} (H)} 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

{displaystyle nu colon operatorname {Cyl} (H)to [0,1]}

{displaystyle nu colon P^{-1}(S)mapsto (2pi )^{n/2}int _{S}exp(-x^{2}/2),mathrm {d} ^{n}xqquad (Pcolon Hto mathbb {R} ^{n},;Sin operatorname {Borel} (mathbb {R} ^{n}))}

특히,

{displaystyle nu (H)=1}

{displaystyle nu (varnothing )=0}

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 {displaystyle sigma (operatorname {Cyl} (H))=operatorname {Borel} (H)} 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 {displaystyle H} 위의 기둥 집합 측도(영어: cylinder-set measure)라고 한다.

{displaystyle H} 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 {displaystyle |-|}이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

{displaystyle V_{1}leq V_{2}leq dotsb leq H}

이 존재한다면, 이를 가측 노름(영어: measurable norm)이라고 한다.

임의의 유한 차원 부분 공간 {displaystyle Wsubseteq H}에 대하여, 만약 {displaystyle Wperp V_{n}}이라면, {displaystyle nu ({xin Hcolon |operatorname {proj} _{W}x|>2^{-n}})<2^{-n}}이다.

{displaystyle H}의, 어떤 가측 노름 {displaystyle |-|}에 대한 완비화인 바나흐 공간

{displaystyle Hsubseteq E}

가 주어졌다고 하자. {displaystyle B^{*}subseteq H^{*}cong H}이므로,

{displaystyle {Hcap Ccolon Cin operatorname {Cyl} (E)}subseteq operatorname {Cyl} (H)}

이다.

그렇다면, {displaystyle E}의 기둥 집합의 족 {displaystyle operatorname {Cyl} (E)} 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

{displaystyle nu colon operatorname {Cyl} (E)to [0,1]}

{displaystyle nu colon phi ^{-1}(S)mapsto nu (Hcap phi ^{-1}(S))qquad forall phi colon Bto mathbb {R} ^{n}}

이는 {displaystyle operatorname {Cyl} (E)}로 생성되는 시그마 대수

{displaystyle sigma (operatorname {Cyl} (E))=operatorname {Borel} (E)}

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 {displaystyle (E,operatorname {Borel} (E))} 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, {displaystyle (E,H,mu )}를 위너 공간이라고 한다.

성질[편집]

위너 공간 {displaystyle (E,mu ,H)}가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 {displaystyle phi in E^{*}}에 대하여, {displaystyle mathbb {R} } 위의 측도 {displaystyle phi _{*}mu }의 분포 함수는 평균이 0인 {displaystyle mathbb {R} } 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

{displaystyle mu (phi ^{-1}(S))=int _{S}Cexp(-x^{2}/2sigma ^{2}),mathrm {d} x,qquad (Cgeq 0,;sigma ^{2}>0)}

또한, 만약 {displaystyle phi neq 0}라면, {displaystyle C>0}이다.

존재[편집]

임의의 분해 가능 바나흐 공간 {displaystyle E}에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 {displaystyle (mu ,H)}가 적어도 하나 이상 존재한다.^{[3]:Theorem 4.47}

페일리-위너 적분[편집]

위너 공간 {displaystyle (E,mu ,H)}이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{displaystyle E^{*}subseteq Hsubseteq E}

가 성립한다. 또한,

{displaystyle E^{*}subseteq operatorname {L} ^{2}(E,mu ;mathbb {R} )}

임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.

{displaystyle |phi |_{operatorname {L} ^{2}(E,mu ;mathbb {R} )}={sqrt {langle phi |phi rangle _{H}}}}

다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환

{displaystyle E^{*}to operatorname {L} ^{2}(E,mu ;mathbb {R} )}

이 존재한다. {displaystyle E^{*}}는 {displaystyle H}의 조밀 집합이므로, 이를 {displaystyle H} 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환

{displaystyle Icolon Hto operatorname {L} ^{2}(E,mu ;mathbb {R} )}

이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상(영어: Paley–Wiener map)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 {displaystyle hin H} 및 {displaystyle xin E}에 대하여

{displaystyle I_{h}(x)in mathbb {R} }

를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분(영어: Paley–Wiener integral)이라고 한다.

캐머런-마틴 정리[편집]

위너 공간 {displaystyle (E,mu ,H)} 및 {displaystyle hin H}에 대하여, 다음을 정의하자.

{displaystyle (+h)colon Eto E}

{displaystyle (+h)colon xmapsto x+h}

그렇다면, {displaystyle E} 위의 보렐 확률 측도

{displaystyle mu _{h}=(+h)_{*}mu colon operatorname {Borel} (E)to [0,1]}

를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수

{displaystyle {frac {mathrm {d} mu _{h}}{mathrm {d} mu }}}

는 다음과 같다.

{displaystyle {frac {mathrm {d} mu _{h}}{mathrm {d} mu }}=exp left(I_{h}(x))-{frac {1}{2}}langle h|hrangle right)}

여기서 {displaystyle I_{h}(x)}는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리(영어: Cameron–Martin theorem)라고 한다.

연산[편집]

두 위너 공간 {displaystyle (E,mu ,H)}, {displaystyle (E',mu ',H')}가 주어졌을 때, {displaystyle (Eoplus E',Hoplus H')} 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.

{displaystyle mu (Stimes S')=mu _{E}(S)mu _{E'}(S')qquad forall Sin operatorname {Borel} (E),;S'in operatorname {Borel} (E')}

예[편집]

만약 {displaystyle H}가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, {displaystyle H=E}라고 하자. 이 경우, {displaystyle H} 위의 위너 공간 구조의 개념은 {displaystyle H} 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

고전 위너 공간[편집]

다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.

{displaystyle {mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n})={fin {mathcal {C}}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n})colon f(0)=0}}

{displaystyle |f|_{{mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n})}=max _{[0,T]}|f|_{mathbb {R} ^{n}}}

그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

{displaystyle operatorname {W} _{0}^{1,2}left([0,T],mathbb {R} ^{n}right)=operatorname {W} ^{1,2}([0,T],mathbb {R} ^{n})cap {mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n})={fin {mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n}),;mathrm {d} f/mathrm {d} tin operatorname {L} ^{2}([0,T],mathbb {R} ^{n})}}

여기서 {displaystyle operatorname {W} ^{1,2}(-)}는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 {displaystyle operatorname {W} _{0}^{1,2}([0,T],mathbb {R} ^{2})}의 원소이다. (도함수의 L² 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 {displaystyle operatorname {L} _{0}^{2,1}}의 원소는 유한 에너지 경로(영어: finite-energy path)라고 한다.) 이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.

{displaystyle langle f,grangle _{operatorname {L} _{0}^{2,1}left([0,1],mathbb {R} ^{n}right)}=int _{0}^{T}langle {dot {f}}(t),{dot {g}}(t)rangle _{mathbb {R} ^{n}},mathrm {d} t}

이제, 임의의 확률 공간 {displaystyle Omega } 및 위너 과정

{displaystyle (W_{t}colon Omega to mathbb {R} ^{n})_{tin [0,T]}}

을 생각하자. {displaystyle W}의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 {displaystyle {mathcal {C}}_{0}([0,T],mathbb {R} ^{n})} 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 {displaystyle Ssubseteq {mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n})}에 대하여,

{displaystyle mu (S)=Pr(Win S)}

로 놓는다.

그렇다면, {displaystyle ({mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],mathbb {R} ^{n}),mu ,operatorname {L} _{0}^{2,1}left([0,1],mathbb {R} ^{n}right))}는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, 영어: classical Wiener space)이라고 한다.

브라운 다리[편집]

원을

{displaystyle mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0sim 1)}

로 정의하자.

L^∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간

{displaystyle E={mathcal {C}}_{0}^{0}(mathbb {S} ^{1},mathbb {R} ^{n})={fin {mathcal {C}}^{0}(mathbb {S} ^{1},mathbb {R} ^{n})colon f(0)=f(1)=0}}

을 생각하자. 이 위에, 부분 공간

{displaystyle H=operatorname {W} _{0}^{1,2}(mathbb {S} ^{1},mathbb {R} ^{n})=operatorname {W} ^{1,2}(mathbb {S} ^{1},mathbb {R} ^{n})cap E}

을 생각하자. 이는 내적

{displaystyle langle f,grangle =oint {dot {f}}{dot {g}}}

에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

{displaystyle E} 위에, 확률 과정

{displaystyle X_{t}=W_{t}-tW_{1}}

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 {displaystyle W_{t}}는 위너 과정이다. 그렇다면, {displaystyle (E,H)}는 위너 공간을 이룬다.^[3]:§4.4

힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조[편집]

분해 가능 힐베르트 공간 {displaystyle H} 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 {displaystyle Acolon Hto H}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름

{displaystyle |x|_{A}=langle Ax|Axrangle _{H}}

을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 {displaystyle (E,mu ,H)}에서 {displaystyle E} 역시 힐베르트 공간을 이룬다.^{[3]:Corollary 4.62} 반대로, 임의의 위너 공간 {displaystyle (E,mu ,H)}에서 {displaystyle E}가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.